Transformaciones lineales

 Transformaciones lineales

1. Qué es una transformación lineal

Una transformación lineal es una función o aplicación lineal cuyo dominio y codominio son espacios vectoriales, en lugar de los  números reales como es el caso de las funciones en el  campo  real. Por supuesto esta tiene que cumplir con ciertas propiedades pero siempre sobre los espacios vectoriales.

A las transformaciones lineales también se les llama operaciones lineares. Una transformación lineal es entonces, una función entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de espacio vectorial, es decir, el conjunto de llegada (codominio o imagen) de la suma de los 2 vectores del dominio (conjunto de salida) es la suma de las imágenes de cada uno de los vectores y la imagen del producto del vector por el escalar . La transformación lineal es una definición entre espacios vectoriales, es decir , el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Para enseñar una transformación lineal usaremos F (v)=W, son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. A las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal.

Una aplicación entre conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada elemento de A, uno de B.

La aplicación de f del conjunto A en el conjunto B se indica mediante f:AB. El conjunto A se llama conjunto inicial, y el conjunto B final. Si la aplicación f asigna al elemento a E A el elemento b E B , diremos que b es la imagen de a, lo que se denota por f(a)=b. La regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cada uno de los elementos de A, está claro que elemento de B es su imagen.

 

2. Cuáles son las condiciones para que exista un transformación lineal

Una  transformación  lineal debe  cumplir  con  dos  condiciones.  Por  lo  tanto  para que  T:  V→W  sea  una  transformación  lineal  debe cumplir:

 T(x+y)=T(x)+T(y) T(kx)=  k.T(x)

Al  no  cumplir  cualquiera  de  estas  condiciones  no  se  trata  de  una  transformación  lineal.

Condición 1

Se refiere a la adición, para que una transformación T sea lineal, tiene que cumplirse que:

T (v + w) = T (v) + T (w)

-Condición 2

La segunda condición representa la homogeneidad en la multiplicación de un escalar por un vector:

T (cv) = c⋅T (v)

La transformación lineal, tal como su nombre lo indica, se encarga de mapear o transformar elementos de V en elementos de W.

La notación para funciones también se utiliza en el caso de las transformaciones lineales, así, el dominio de V es el conjunto de elementos (vectores) a transformar, mientras que el codominio o recorrido es el conjunto resultante.

 

3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Supongamos una transformación lineal T de V en W, en la cual los vectores v y u pertenecen a V, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad 1

T (0) = 0

Donde 0 es el vector nulo.

Propiedad 2

T (-v) = – T (v)

Propiedad 3

T (u  – v) = T (u) – T(v)

Propiedad 4

Sea v = c1v1 + c2v2 + …. +  cnvn

 Entonces:

T (c1v1 + c2v2 + …. +  cnvn) = c1 T(v1) + c2 T(v2) + …. +  cn T(vn)

Teorema de la dimensión 

El siguiente resultado relaciona las dimensiones del núcleo y de la imagen de una transformación lineal con la de su dominio. (Teorema de la dimensión para transformaciones lineales) Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimensión finita, y sea f : V → W una transformación lineal. Entonces

dim V = dim(Nu(f)) + dim(Im(f)).

Demostración. Sean n = dim V y r = dim(Nu(f)).

Si r = n, entonces f ≡ 0 y dim(Im(f)) = 0. Por lo tanto, el teorema vale.

Si r = 0, entonces f es un monomorfismo. En este caso, si B es una base de V , entonces f(B) es una base de Im(f). Luego dim(Im(f)) = dim V (ver Corolario 3.14), y el teorema vale. 

 

4. Un ejemplo de una transformación lineal.

Comprobar que la siguiente transformación T: R2 → R2 es lineal:

Solución

Para ello hay que asegurarse de que la transformación cumpla las dos condiciones descritas al comienzo, primero la de adición y luego la del producto de un escalar por un vector. Así que hay que tomar dos vectores v y u pertenecientes a R2, escribiéndonos mediante la notación matricial o especificando las componentes.

Estos vectores son:

v = x1, y1

u = x2, y2

 

5. Cómo probar esa transformación lineal.

• Primera condición

-Recordando que los vectores se suman componente a componente, se tiene que verificar que:

T (v+u) = T (v) + T (u)

T (v+u) = T (x1+ x2 ; y1 + y2)

De aquí se obtiene que:

T (x1+ x2 ; y1 + y2) = (x1+ x2; 0)

-Por el otro lado, al aplicar la transformación a cada vector por separado:

T (x1,y1) + T (x2,y2) = (x1,0) + (x2,0)

Al sumar los vectores resultantes se obtiene efectivamente:

w =  (x1+ x2; 0)

Como ambos resultados son idénticos, la primera condición se satisface.

• Segunda condición

Ahora vamos a comprobar que al multiplicar por un escalar c, este puede salir fuera de la transformación:

T(cv) = c⋅T(v)

Sean:

v = x1, y1

c.v = c⋅x1, c⋅y1

Entonces:

T(cv) = T (c⋅x1, c⋅y1 ) = (c⋅x1 , 0)

Pero sabemos que del paso anterior que T (v) = T (x1, y1 ) =  (x1 , 0).

Así que como ambas expresiones son idénticas, la segunda condición también se cumple y la transformación es lineal.

Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

Elementos clave del álgebra matricial y la solución de sistemas de ecuaciones

¿Cuál de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

El método de Gauss sustituye el sistema dado por otro equivalente. Permite resolver sistemas lineales de ecuaciones. La idea del método consiste en efectuar operaciones de filas a la matriz del sistema de forma que el sistema resultante (que es equivalente al original) tenga la matriz del sistema triangular superior.

¿Qué ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

Al ser un método lineal ya no se utilizan despejes ni procesos algebraicos como tal, se utiliza un proceso aritmético con sus pasos estructurados para llegar a la solución.

Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante.

• Regla de Laplace - Mediante esta regla podremos calcular fácilmente el determinante de matrices de dimensiones iguales y mayores a 3 x 3. De esta forma, simplificamos el cálculo de las matrices de dimensiones elevadas al utilizar la suma de los determinantes de las matrices menores en las que se descompone la matriz inicial.

• La regla de Sarrus dice que para calcular un determinante de orden 3 tenemos que sumar el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos, y luego restar el producto de los elementos de la diagonal secundaria y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos. 

• El determinante de una matriz cuadrada - matriz con el mismo número de filas que de columnas se obtiene de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal de la matriz y la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria de la misma matriz.

Solución sistema ecuaciones método de Gauss-Jordan

 

Diferencia entre el método Gauss y el Gauss-Jordan

La diferencia entre los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan es que el primero finaliza al obtener un sistema equivalente en forma escalonada, mientras que el segundo finaliza al obtener un sistema equivalente en forma escalonada reducida.

Ventaja de aplicar el método de Gauss-Jordan

El Método de Gauss Jordán es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas

Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora.

¿Qué conceptos se identifican con respecto al álgebra matricial y sus aplicaciones?

 

Adjunto enlace de imagen para mejor visualización: https://drive.google.com/file/d/1X0RdfjzTOkbfAbJOXylnc59lXMCg5NEL/view?usp=sharing

Matrices especiales

Al trabajar con matrices, nos encontraremos con algunas matrices que tienen ciertas características muy particulares, a este tipo de matrices se les conocen como matrices especiales. Las siguientes son algunas de las principales:

Matriz identidad

Llamamos matriz identidad a la matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas) formada por unos en la diagonal y ceros en las demás entradas (posiciones). La representamos por In donde n es la dimensión de la matriz.

Propiedades:

• Es el neutro del producto de matrices. Es decir, para toda matriz A de dimensión m x n,

• Es idempotente, es decir, sus potencias son ella misma:

• Es regular y su inversa es ella misma.

• Es una matriz permutación.

• Sólo tiene un autovalor (valor propio), que es 1, con multiplicidad algebraica la misma que la dimensión de la matriz.

Matriz diagonal

Una matriz $A=\left(a_{ij}\right)$ es diagonal cuando los elementos que no están en la diagonal son 0. Es decir, $a_{ij}=0$ si $i\ne j$.

Por ejemplo,

La matriz identidad es una matriz diagonal.

Normalmente, las matrices diagonales se escriben indicando su diagonal. Por ejemplo, las matrices anteriores son

Podemos indicar la dimensión si puede dar lugar a confusión:

Propiedades:

• Son un caso particular de las matrices triangulares.

• La matriz traspuesta de una matriz diagonal de dimensión m x n es la matriz diagonal de dimensión n x m con la misma diagonal.

• En las matrices cuadradas, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal:

  
  
  

• Por tanto, son regulares si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,

  

• Potencias (para las cuadradas):

• Producto de matrices diagonales: Sean las matrices $A$ y $B$ diagonales de dimensiones respectivas $mxn$ y $nxt$, entonces su producto es una matriz diagonal de dimensión $mxt$

• Los autovalores (valores propios) de las matrices diagonales cuadradas son los elementos de la diagonal.

Sea la matriz $A=\left(a_{i,j}\right)$. Llamamos diagonal principal o diagonal 0 al vector formado por los elementos $a_{i,i}$.

Análogamente, llamamos diagonal $k>0$ al vector formado por los elementos $a_{i,i+k}$. Y diagonal $-k$ al formado por los elementos $a_{i,i-k}$.

Matrices Triangulares

Sea $A$ una matriz de dimensión $mxn$,

• Es una matriz triangular superior si tiene 0's por debajo de la diagonal, es decir, si $a_{ij}=0$ para $i>j$.

  Por ejemplo,

  

• Es una matriz triangular inferior si tiene 0's por encima de la diagonal, es decir, si 

$a_{ij}=0$ para $i<j$.

Por ejemplo,

Propiedades:

• La matriz traspuesta de una triangular superior es triangular inferior y viceversa.

• Si la matriz es cuadrada, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal. Por tanto, es regular si, y sólo si, los elementos de la diagonal son distintos de 0.

  Por ejemplo,

  

• La inversa de una matriz triangular superior (inferior) es una matriz triangular superior (inferior).

  Por ejemplo,

  

• El producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).

  Por ejemplo,

  

• Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada triangular son los elementos de la diagonal.

Matriz Simétrica

Una matriz $A$ es simétrica si es igual a su traspuesta, es decir, $A=A^T$. Como consecuencia de la definición, la matriz $A$ tiene que ser cuadrada.

Por ejemplo,

Propiedades:

• La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica.

• La adjunta de una simétrica es simétrica.

• La suma de simétricas es simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.

• Si $A$ es una matriz cuadrada, entonces $A+A^T$ es simétrica.

• Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.

• Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.

• Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir,

  

Matriz Transpuesta

La matriz traspuesta de una matriz $A$ de dimensión $mxn$ es una matriz de dimensión $nxm$ que tiene por columnas a las filas de $A$. Se denota como $A^T$ (o $A^{\prime }$ si la matriz es real).

Por ejemplo,

Propiedades:

• Traspuesta de la traspuesta:

• Traspuesta de la suma:
  
  
  
• Traspuesta del producto:

  

  
  
• Inversa de la traspuesta:

  

  
  
• El determinante de una matriz regular es igual al de su traspuesta:

  

  
  

Matriz Aumentada

Una matriz derivada de un sistema de ecuaciones lineales es la matriz aumentada del sistema. Asegúrese, que cada ecuación esté escrita en la forma estándar con el término constante a la derecha.

Las primeras tres columnas de la matriz aumentada muestran los coeficientes de x , y , y z en el sistema lineal. La cuarta columna en la matriz aumentada muestra los términos constantes en el sistema lineal. La línea punteada opcional ayuda para identificar los términos constantes.

Cuando se forma tanto la matriz de coeficientes como la matriz aumentada de un sistema, comience por alinear verticalmente las variables en las ecuaciones y use los 0's para las variables que faltan.