Transformaciones lineales

 Transformaciones lineales

1. Qué es una transformación lineal

Una transformación lineal es una función o aplicación lineal cuyo dominio y codominio son espacios vectoriales, en lugar de los  números reales como es el caso de las funciones en el  campo  real. Por supuesto esta tiene que cumplir con ciertas propiedades pero siempre sobre los espacios vectoriales.

A las transformaciones lineales también se les llama operaciones lineares. Una transformación lineal es entonces, una función entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de espacio vectorial, es decir, el conjunto de llegada (codominio o imagen) de la suma de los 2 vectores del dominio (conjunto de salida) es la suma de las imágenes de cada uno de los vectores y la imagen del producto del vector por el escalar . La transformación lineal es una definición entre espacios vectoriales, es decir , el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Para enseñar una transformación lineal usaremos F (v)=W, son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. A las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal.

Una aplicación entre conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada elemento de A, uno de B.

La aplicación de f del conjunto A en el conjunto B se indica mediante f:AB. El conjunto A se llama conjunto inicial, y el conjunto B final. Si la aplicación f asigna al elemento a E A el elemento b E B , diremos que b es la imagen de a, lo que se denota por f(a)=b. La regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cada uno de los elementos de A, está claro que elemento de B es su imagen.

 

2. Cuáles son las condiciones para que exista un transformación lineal

Una  transformación  lineal debe  cumplir  con  dos  condiciones.  Por  lo  tanto  para que  T:  V→W  sea  una  transformación  lineal  debe cumplir:

 T(x+y)=T(x)+T(y) T(kx)=  k.T(x)

Al  no  cumplir  cualquiera  de  estas  condiciones  no  se  trata  de  una  transformación  lineal.

Condición 1

Se refiere a la adición, para que una transformación T sea lineal, tiene que cumplirse que:

T (v + w) = T (v) + T (w)

-Condición 2

La segunda condición representa la homogeneidad en la multiplicación de un escalar por un vector:

T (cv) = c⋅T (v)

La transformación lineal, tal como su nombre lo indica, se encarga de mapear o transformar elementos de V en elementos de W.

La notación para funciones también se utiliza en el caso de las transformaciones lineales, así, el dominio de V es el conjunto de elementos (vectores) a transformar, mientras que el codominio o recorrido es el conjunto resultante.

 

3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Supongamos una transformación lineal T de V en W, en la cual los vectores v y u pertenecen a V, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad 1

T (0) = 0

Donde 0 es el vector nulo.

Propiedad 2

T (-v) = – T (v)

Propiedad 3

T (u  – v) = T (u) – T(v)

Propiedad 4

Sea v = c1v1 + c2v2 + …. +  cnvn

 Entonces:

T (c1v1 + c2v2 + …. +  cnvn) = c1 T(v1) + c2 T(v2) + …. +  cn T(vn)

Teorema de la dimensión 

El siguiente resultado relaciona las dimensiones del núcleo y de la imagen de una transformación lineal con la de su dominio. (Teorema de la dimensión para transformaciones lineales) Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimensión finita, y sea f : V → W una transformación lineal. Entonces

dim V = dim(Nu(f)) + dim(Im(f)).

Demostración. Sean n = dim V y r = dim(Nu(f)).

Si r = n, entonces f ≡ 0 y dim(Im(f)) = 0. Por lo tanto, el teorema vale.

Si r = 0, entonces f es un monomorfismo. En este caso, si B es una base de V , entonces f(B) es una base de Im(f). Luego dim(Im(f)) = dim V (ver Corolario 3.14), y el teorema vale. 

 

4. Un ejemplo de una transformación lineal.

Comprobar que la siguiente transformación T: R2 → R2 es lineal:

Solución

Para ello hay que asegurarse de que la transformación cumpla las dos condiciones descritas al comienzo, primero la de adición y luego la del producto de un escalar por un vector. Así que hay que tomar dos vectores v y u pertenecientes a R2, escribiéndonos mediante la notación matricial o especificando las componentes.

Estos vectores son:

v = x1, y1

u = x2, y2

 

5. Cómo probar esa transformación lineal.

• Primera condición

-Recordando que los vectores se suman componente a componente, se tiene que verificar que:

T (v+u) = T (v) + T (u)

T (v+u) = T (x1+ x2 ; y1 + y2)

De aquí se obtiene que:

T (x1+ x2 ; y1 + y2) = (x1+ x2; 0)

-Por el otro lado, al aplicar la transformación a cada vector por separado:

T (x1,y1) + T (x2,y2) = (x1,0) + (x2,0)

Al sumar los vectores resultantes se obtiene efectivamente:

w =  (x1+ x2; 0)

Como ambos resultados son idénticos, la primera condición se satisface.

• Segunda condición

Ahora vamos a comprobar que al multiplicar por un escalar c, este puede salir fuera de la transformación:

T(cv) = c⋅T(v)

Sean:

v = x1, y1

c.v = c⋅x1, c⋅y1

Entonces:

T(cv) = T (c⋅x1, c⋅y1 ) = (c⋅x1 , 0)

Pero sabemos que del paso anterior que T (v) = T (x1, y1 ) =  (x1 , 0).

Así que como ambas expresiones son idénticas, la segunda condición también se cumple y la transformación es lineal.