Transformaciones lineales

 Transformaciones lineales

1. Qué es una transformación lineal

Una transformación lineal es una función o aplicación lineal cuyo dominio y codominio son espacios vectoriales, en lugar de los  números reales como es el caso de las funciones en el  campo  real. Por supuesto esta tiene que cumplir con ciertas propiedades pero siempre sobre los espacios vectoriales.

A las transformaciones lineales también se les llama operaciones lineares. Una transformación lineal es entonces, una función entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de espacio vectorial, es decir, el conjunto de llegada (codominio o imagen) de la suma de los 2 vectores del dominio (conjunto de salida) es la suma de las imágenes de cada uno de los vectores y la imagen del producto del vector por el escalar . La transformación lineal es una definición entre espacios vectoriales, es decir , el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Para enseñar una transformación lineal usaremos F (v)=W, son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. A las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal.

Una aplicación entre conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada elemento de A, uno de B.

La aplicación de f del conjunto A en el conjunto B se indica mediante f:AB. El conjunto A se llama conjunto inicial, y el conjunto B final. Si la aplicación f asigna al elemento a E A el elemento b E B , diremos que b es la imagen de a, lo que se denota por f(a)=b. La regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cada uno de los elementos de A, está claro que elemento de B es su imagen.

 

2. Cuáles son las condiciones para que exista un transformación lineal

Una  transformación  lineal debe  cumplir  con  dos  condiciones.  Por  lo  tanto  para que  T:  V→W  sea  una  transformación  lineal  debe cumplir:

 T(x+y)=T(x)+T(y) T(kx)=  k.T(x)

Al  no  cumplir  cualquiera  de  estas  condiciones  no  se  trata  de  una  transformación  lineal.

Condición 1

Se refiere a la adición, para que una transformación T sea lineal, tiene que cumplirse que:

T (v + w) = T (v) + T (w)

-Condición 2

La segunda condición representa la homogeneidad en la multiplicación de un escalar por un vector:

T (cv) = c⋅T (v)

La transformación lineal, tal como su nombre lo indica, se encarga de mapear o transformar elementos de V en elementos de W.

La notación para funciones también se utiliza en el caso de las transformaciones lineales, así, el dominio de V es el conjunto de elementos (vectores) a transformar, mientras que el codominio o recorrido es el conjunto resultante.

 

3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Supongamos una transformación lineal T de V en W, en la cual los vectores v y u pertenecen a V, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad 1

T (0) = 0

Donde 0 es el vector nulo.

Propiedad 2

T (-v) = – T (v)

Propiedad 3

T (u  – v) = T (u) – T(v)

Propiedad 4

Sea v = c1v1 + c2v2 + …. +  cnvn

 Entonces:

T (c1v1 + c2v2 + …. +  cnvn) = c1 T(v1) + c2 T(v2) + …. +  cn T(vn)

Teorema de la dimensión 

El siguiente resultado relaciona las dimensiones del núcleo y de la imagen de una transformación lineal con la de su dominio. (Teorema de la dimensión para transformaciones lineales) Sean V y W dos K-espacios vectoriales, V de dimensión finita, y sea f : V → W una transformación lineal. Entonces

dim V = dim(Nu(f)) + dim(Im(f)).

Demostración. Sean n = dim V y r = dim(Nu(f)).

Si r = n, entonces f ≡ 0 y dim(Im(f)) = 0. Por lo tanto, el teorema vale.

Si r = 0, entonces f es un monomorfismo. En este caso, si B es una base de V , entonces f(B) es una base de Im(f). Luego dim(Im(f)) = dim V (ver Corolario 3.14), y el teorema vale. 

 

4. Un ejemplo de una transformación lineal.

Comprobar que la siguiente transformación T: R2 → R2 es lineal:

Solución

Para ello hay que asegurarse de que la transformación cumpla las dos condiciones descritas al comienzo, primero la de adición y luego la del producto de un escalar por un vector. Así que hay que tomar dos vectores v y u pertenecientes a R2, escribiéndonos mediante la notación matricial o especificando las componentes.

Estos vectores son:

v = x1, y1

u = x2, y2

 

5. Cómo probar esa transformación lineal.

• Primera condición

-Recordando que los vectores se suman componente a componente, se tiene que verificar que:

T (v+u) = T (v) + T (u)

T (v+u) = T (x1+ x2 ; y1 + y2)

De aquí se obtiene que:

T (x1+ x2 ; y1 + y2) = (x1+ x2; 0)

-Por el otro lado, al aplicar la transformación a cada vector por separado:

T (x1,y1) + T (x2,y2) = (x1,0) + (x2,0)

Al sumar los vectores resultantes se obtiene efectivamente:

w =  (x1+ x2; 0)

Como ambos resultados son idénticos, la primera condición se satisface.

• Segunda condición

Ahora vamos a comprobar que al multiplicar por un escalar c, este puede salir fuera de la transformación:

T(cv) = c⋅T(v)

Sean:

v = x1, y1

c.v = c⋅x1, c⋅y1

Entonces:

T(cv) = T (c⋅x1, c⋅y1 ) = (c⋅x1 , 0)

Pero sabemos que del paso anterior que T (v) = T (x1, y1 ) =  (x1 , 0).

Así que como ambas expresiones son idénticas, la segunda condición también se cumple y la transformación es lineal.

Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

Elementos clave del álgebra matricial y la solución de sistemas de ecuaciones

¿Cuál de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

El método de Gauss sustituye el sistema dado por otro equivalente. Permite resolver sistemas lineales de ecuaciones. La idea del método consiste en efectuar operaciones de filas a la matriz del sistema de forma que el sistema resultante (que es equivalente al original) tenga la matriz del sistema triangular superior.

¿Qué ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

Al ser un método lineal ya no se utilizan despejes ni procesos algebraicos como tal, se utiliza un proceso aritmético con sus pasos estructurados para llegar a la solución.

Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante.

• Regla de Laplace - Mediante esta regla podremos calcular fácilmente el determinante de matrices de dimensiones iguales y mayores a 3 x 3. De esta forma, simplificamos el cálculo de las matrices de dimensiones elevadas al utilizar la suma de los determinantes de las matrices menores en las que se descompone la matriz inicial.

• La regla de Sarrus dice que para calcular un determinante de orden 3 tenemos que sumar el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos, y luego restar el producto de los elementos de la diagonal secundaria y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos. 

• El determinante de una matriz cuadrada - matriz con el mismo número de filas que de columnas se obtiene de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal de la matriz y la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria de la misma matriz.

Solución sistema ecuaciones método de Gauss-Jordan

 

Diferencia entre el método Gauss y el Gauss-Jordan

La diferencia entre los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan es que el primero finaliza al obtener un sistema equivalente en forma escalonada, mientras que el segundo finaliza al obtener un sistema equivalente en forma escalonada reducida.

Ventaja de aplicar el método de Gauss-Jordan

El Método de Gauss Jordán es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas

Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora.

Introducción a los sistemas de bases de datos

 ¿Qué importancia tienen las bases de datos en una organización?

A nivel organizacional, las bases de datos, es uno de los principales a activos que se tienen, así como el aporte que ha generado la informática para la gestión de estás. Si una Base de Datos se gestiona adecuadamente, la organización obtendrá diferentes ventajas. Aumentará su eficacia, habrá trabajos que se realicen con mayor rapidez y agilidad debido a la simplificación de los mismos, podremos mejorar la seguridad de los datos que almacenamos, y con todos estos factores, maximizaremos los tiempos y por tanto, se producirá una mejora en la productividad. Las bases de datos nos permiten:

• Agrupar y almacenar todos los datos de la empresa en un único lugar.

• Facilitar que se compartan los datos entre los diferentes miembros de la empresa.

• Evitar la redundancia y mejorar la organización de nuestra actividad.

• Visualizar los datos de un cliente o potencial: interacciones, ventas, datos de contacto.

• Conectar los datos de operaciones, facturación e interacciones con cada cliente o potencial

• Activar campañas de marketing o tareas 

Así mismo se utilizan métodos como las formas normales, que son conjuntos de criterios que nos permiten mejorar la estructura de las bases de datos.

TIA: DAFO personal

La realización de una DOFA personal nos permite evaluar el presente y el futuro de nuestras metas, brindado una perspectiva de lo que se está haciendo bien, y permitiendo identificar los retos y el camino a seguir. También nos aporta ideas clave basadas en nuestras propias fortalezas y debilidades.

¿Qué conceptos se identifican con respecto al álgebra matricial y sus aplicaciones?

 

Adjunto enlace de imagen para mejor visualización: https://drive.google.com/file/d/1X0RdfjzTOkbfAbJOXylnc59lXMCg5NEL/view?usp=sharing

Planeación estratégica 1

Las empresas requieren de un plan de acción que las oriente y les ayude a construir una idea clara de hacia dónde quieren dirigirse para que puedan identificar y definir sus objetivos y estrategias de negocio, así como el camino a seguir para alcanzarlos.

Al llevar a cabo la planeación estratégica, las empresas crean una visión de dónde podrían encontrarse en un futuro, lo que les permite tener una idea mucho más clara de las estrategias que deben definir y lo que tiene que hacer cada uno de sus miembros para conseguir ese futuro exitoso.

Algunas ventajas son:

• Facilita la dirección y operación del negocio, pues otorga una visión integral del mismo, permite comprender cómo evoluciona, y ayuda a ordenar las prioridades y acciones a seguir.
• Facilita la toma de decisiones estratégicas para resolver los puntos críticos y dirigir a la empresa hacía el éxito esperado.
• Permite comprender todos los procesos de la empresa, como se interrelacionan entre sí y cómo pueden optimizarse.