Matrices especiales

Al trabajar con matrices, nos encontraremos con algunas matrices que tienen ciertas características muy particulares, a este tipo de matrices se les conocen como matrices especiales. Las siguientes son algunas de las principales:

Matriz identidad

Llamamos matriz identidad a la matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas) formada por unos en la diagonal y ceros en las demás entradas (posiciones). La representamos por In donde n es la dimensión de la matriz.

Propiedades:

• Es el neutro del producto de matrices. Es decir, para toda matriz A de dimensión m x n,

• Es idempotente, es decir, sus potencias son ella misma:

• Es regular y su inversa es ella misma.

• Es una matriz permutación.

• Sólo tiene un autovalor (valor propio), que es 1, con multiplicidad algebraica la misma que la dimensión de la matriz.

Matriz diagonal

Una matriz $A=\left(a_{ij}\right)$ es diagonal cuando los elementos que no están en la diagonal son 0. Es decir, $a_{ij}=0$ si $i\ne j$.

Por ejemplo,

La matriz identidad es una matriz diagonal.

Normalmente, las matrices diagonales se escriben indicando su diagonal. Por ejemplo, las matrices anteriores son

Podemos indicar la dimensión si puede dar lugar a confusión:

Propiedades:

• Son un caso particular de las matrices triangulares.

• La matriz traspuesta de una matriz diagonal de dimensión m x n es la matriz diagonal de dimensión n x m con la misma diagonal.

• En las matrices cuadradas, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal:

  
  
  

• Por tanto, son regulares si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,

  

• Potencias (para las cuadradas):

• Producto de matrices diagonales: Sean las matrices $A$ y $B$ diagonales de dimensiones respectivas $mxn$ y $nxt$, entonces su producto es una matriz diagonal de dimensión $mxt$

• Los autovalores (valores propios) de las matrices diagonales cuadradas son los elementos de la diagonal.

Sea la matriz $A=\left(a_{i,j}\right)$. Llamamos diagonal principal o diagonal 0 al vector formado por los elementos $a_{i,i}$.

Análogamente, llamamos diagonal $k>0$ al vector formado por los elementos $a_{i,i+k}$. Y diagonal $-k$ al formado por los elementos $a_{i,i-k}$.

Matrices Triangulares

Sea $A$ una matriz de dimensión $mxn$,

• Es una matriz triangular superior si tiene 0's por debajo de la diagonal, es decir, si $a_{ij}=0$ para $i>j$.

  Por ejemplo,

  

• Es una matriz triangular inferior si tiene 0's por encima de la diagonal, es decir, si 

$a_{ij}=0$ para $i<j$.

Por ejemplo,

Propiedades:

• La matriz traspuesta de una triangular superior es triangular inferior y viceversa.

• Si la matriz es cuadrada, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal. Por tanto, es regular si, y sólo si, los elementos de la diagonal son distintos de 0.

  Por ejemplo,

  

• La inversa de una matriz triangular superior (inferior) es una matriz triangular superior (inferior).

  Por ejemplo,

  

• El producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).

  Por ejemplo,

  

• Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada triangular son los elementos de la diagonal.

Matriz Simétrica

Una matriz $A$ es simétrica si es igual a su traspuesta, es decir, $A=A^T$. Como consecuencia de la definición, la matriz $A$ tiene que ser cuadrada.

Por ejemplo,

Propiedades:

• La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica.

• La adjunta de una simétrica es simétrica.

• La suma de simétricas es simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.

• Si $A$ es una matriz cuadrada, entonces $A+A^T$ es simétrica.

• Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.

• Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.

• Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir,

  

Matriz Transpuesta

La matriz traspuesta de una matriz $A$ de dimensión $mxn$ es una matriz de dimensión $nxm$ que tiene por columnas a las filas de $A$. Se denota como $A^T$ (o $A^{\prime }$ si la matriz es real).

Por ejemplo,

Propiedades:

• Traspuesta de la traspuesta:

• Traspuesta de la suma:
  
  
  
• Traspuesta del producto:

  

  
  
• Inversa de la traspuesta:

  

  
  
• El determinante de una matriz regular es igual al de su traspuesta:

  

  
  

Matriz Aumentada

Una matriz derivada de un sistema de ecuaciones lineales es la matriz aumentada del sistema. Asegúrese, que cada ecuación esté escrita en la forma estándar con el término constante a la derecha.

Las primeras tres columnas de la matriz aumentada muestran los coeficientes de x , y , y z en el sistema lineal. La cuarta columna en la matriz aumentada muestra los términos constantes en el sistema lineal. La línea punteada opcional ayuda para identificar los términos constantes.

Cuando se forma tanto la matriz de coeficientes como la matriz aumentada de un sistema, comience por alinear verticalmente las variables en las ecuaciones y use los 0's para las variables que faltan.